문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 수 체계 (문단 편집) === [[사원수]]와 팔원수 === 복소수까지 구성하는 게 보통이지만, 맨 위에서 언급한 [[사원수]](quaternion)도 있고, 심지어 팔원수(octonion), 십육원수(sedenion)도 있다. [[사원수]]에서는 [math( i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1)] 이 성립하는 3개의 단위 [math(i,\,j,\,k)] 가 추가된다. 이 사원수의 가장 중요한 특징은, '''곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다.''' 즉, 두 사원수 [math(a)], [math(b)] 에 대해서 [math(ab = ba)] 라고 쓸 수 없다.[* [math(a)] 나 [math(b)] 가 실수인 경우에는 등호가 성립되지만, 일반적인 사원수에 대해서는 성립되지 않는다.] 예를 들어 [math(ij = k\ne -k=ji)]이다. ||<-4><#dcdcdc> 사원수 곱셈표 || || a\backslash b || i || j || k || || i || -1 || k || -j || || j || -k || -1 || i || || k || j || -i || -1 || 사원수는 비행기의 자세 제어에 쓰일 수 있는데, [[레온하르트 오일러|오일러]]가 만든 오일러각을 이용하여, 3차원 회전을 사원수 곱셈으로 표현이 가능하다. 하지만 사원수 계산의 난해함으로 인해서 도태되었다가, 컴퓨터가 발달한 현재는 모든 계산을 컴퓨터를 이용해서 처리 가능하므로 3차원 그래픽에서 다시 각광받게 되었다. 이에 관해서는 [[http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=5036|네이버캐스트]]에 유용한 글이 있으므로 참고하자. 팔원수로 확장되면 이제는 '''곱셈의 결합법칙이 성립되지 않는다'''. 즉, [math(\left(ab\right)c = a\left(bc\right))] 라고 쓸 수 없다. 도대체 이따위 것을 어디다가 써먹냐 하겠지만, 대수학에서 나타나는 구조들, 예컨대 몇몇 단순 리 대수(simple Lie algebra)를 표현할 때 쓰이기도 한다. 이 때문에 끈이론 같은 최신 물리에서 쓰이기도 한다 [[카더라]]. 또한 사원수에서 [[외적|3차원 벡터곱]]을 유도할 수 있으며, 마찬가지로 팔원수에서 [[외적|7차원 벡터곱]]을 유도해 낼 수 있기 때문에 벡터곱을 확장하고자 할 때는 팔원수를 이용하기도 한다. ||<-8><#dcdcdc> 팔원수 곱셈표 || || a\backslash b || e_{1} || e_{2} || e_{3} || e_{4} || e_{5} || e_{6} || e_{7} || || e_{1} || -1 || e_{4} || e_{7} || -e_{2} || e_{6} || -e_{5} || -e_{3} || || e_{2} || -e_{4} || -1 || e_{5} || e_{1} || -e_{3} || e_{7} || -e_{6} || || e_{3} || -e_{7} || -e_{5} || -1 || e_{6} || e_{2} || -e_{4} || e_{1} || || e_{4} || e_{2} || -e_{1} || -e_{6} || -1 || e_{7} || e_{3} || -e_{5} || || e_{5} || -e_{6} || e_{3} || -e_{2} || -e_{7} || -1 || e_{1} || e_{4} || || e_{6} || e_{5} || -e_{7} || e_{4} || -e_{3} || -e_{1} || -1 || e_{2} || || e_{7} || e_{3} || e_{6} || -e_{1} || e_{5} || -e_{4} || -e_{2} || -1 || 16원수, 32원수, 64원수 등, 이론상 무궁무진하게 만들어낼 수도 있지만 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 확장될수록 교환법칙, 결합법칙과 같은 당연하게 여겨졌던 법칙들이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다. 예를 들어 16원수는 [math(||a\cdot b||\neq||a||\cdot||b||)]가 되어 버려서 [[노름(수학)|노름]]이 보존되지 않는다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기